Los matemáticos abren un nuevo frente a un antiguo problema numérico

Como un alto Estudiante de escuela a mediados de la década de 1990, Pace Nielsen se encontró con una pregunta matemática con la que todavía está luchando hasta el día de hoy. Pero no se siente mal: el problema que lo cautivó, llamado la conjetura de los números perfectos impares, existe desde hace más de 2.000 años, lo que lo convierte en uno de los problemas matemáticos sin resolver más antiguos.

Historia original reimpreso con permiso de Revista Quanta, una publicación editorialmente independiente de la Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia al cubrir los desarrollos de investigación y las tendencias en matemáticas y ciencias físicas y de la vida.

Parte del atractivo de larga data de este problema proviene de la simplicidad del concepto subyacente: un número es perfecto si es un entero positivo, norte, cuyos divisores suman exactamente el doble del número en sí, 2norte. El primer y más simple ejemplo es 6, ya que sus divisores (1, 2, 3 y 6) suman 12, o 2 por 6. Luego viene 28, cuyos divisores de 1, 2, 4, 7, 14 y 28 suman 56. Los siguientes ejemplos son 496 y 8.128.

Leonhard Euler formalizó esta definición en el 1700 con la introducción de su función sigma (σ), que suma los divisores de un número. Por lo tanto, para números perfectos, σ (norte) = 2norte.

Leonhard Euler
Leonhard Euler estableció muchas de las reglas formales que gobiernan cómo los matemáticos piensan y manipulan los números perfectos.Ilustración: Jacob Emanuel Handmann

Pero Pitágoras conocía los números perfectos en el año 500 a. C., y dos siglos más tarde, Euclides ideó una fórmula para generar incluso números perfectos. Mostró que si pags y 2pags – 1 son números primos (cuyos únicos divisores son 1 y ellos mismos), luego 2pags−1 × (2pags – 1) es un número perfecto. Por ejemplo, si pags es 2, la fórmula le da 21 × (22 – 1) o 6, y si pags es 3, obtienes 22 × (23 – 1) o 28, los dos primeros números perfectos. Euler demostró 2000 años más tarde que esta fórmula en realidad genera todos los números perfectos pares, aunque todavía se desconoce si el conjunto de números perfectos pares es finito o infinito.

Nielsen, ahora profesor en la Universidad Brigham Young (BYU), se vio atrapado por una pregunta relacionada: ¿Existe algún número perfecto impar (OPN)? El matemático griego Nicomachus declaró alrededor del año 100 EC que todos los números perfectos deben ser pares, pero nadie ha probado esa afirmación.

Como muchos de sus pares del siglo XXI, Nielsen cree que probablemente no haya OPN. Y, al igual que sus compañeros, no cree que haya una prueba al alcance inmediato. Pero el pasado junio encontró una nueva forma de abordar el problema que podría conducir a un mayor progreso. Se trata de lo más parecido a los OPN hasta ahora descubierto.

Una telaraña tensa

Nielsen aprendió por primera vez sobre los números perfectos durante una competencia de matemáticas en la escuela secundaria. Profundizó en la literatura y encontró un artículo de 1974 de Carl Pomerance, un matemático ahora en Dartmouth College, que probó que cualquier OPN debe tener al menos siete factores primos distintos.

“Ver que se podía avanzar en este problema me dio la esperanza, en mi ingenuidad, de que tal vez podría hacer algo”, dijo Nielsen. «Eso me motivó a estudiar teoría de números en la universidad y tratar de hacer avanzar las cosas». Su primer artículo sobre OPN, publicado en 2003, impuso más restricciones a estos números hipotéticos. Él mostró no solo que el número de OPN con k distintos factores primos es finito, como había establecido Leonard Dickson en 1913, pero que el tamaño del número debe ser menor que 24k.

Estas no fueron ni la primera ni la última restricción establecida para los hipotéticos OPN. En 1888, por ejemplo, James Sylvester demostró que ningún OPN podía ser divisible por 105. En 1960, Karl K. Norton demostró que si un OPN no es divisible por 3, 5 o 7, debe tener al menos 27 factores primos. Paul Jenkins, también en BYU, demostró en 2003 que el factor primo más grande de un OPN debe exceder 10,000,000. Pascal Ochem y Michaël Rao han determinado más recientemente que cualquier OPN debe ser superior a 101500 (y luego empujó ese número a 102000). Nielsen, por su parte, mostrado en 2015 que un OPN debe tener un mínimo de 10 factores primos distintos.

Pace Nielsen
Pace Nielsen, matemático de la Universidad Brigham Young, ha estudiado durante mucho tiempo los números perfectos impares. Su último trabajo sugiere un nuevo camino a seguir para determinar si realmente existen.Fotografía: Alyssa Lyman / BYU

Incluso en el siglo XIX, existían suficientes restricciones para incitar a Sylvester a concluir que “la existencia de [an odd perfect number]—Su escape, por así decirlo, de la compleja red de condiciones que lo rodean por todos lados — sería poco menos que un milagro ”. Después de más de un siglo de desarrollos similares, la existencia de OPN parece aún más dudosa.

.

Deja un comentario

Cart
Your cart is currently empty.